Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{8 + x^{3}}$ , $(1, 3)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 + x^{3}}$ в виде ${(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 8 + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 + x^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $8 + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.9

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Этап 1.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Этап 1.12.2

Объединим $\frac{3}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 {(8 + {(1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(8 + 1^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.14.2.2

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.14.2.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.14.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.14.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.14.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{1}}$

Этап 1.14.2.6

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 1.14.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 1.14.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3}{6}$

Этап 1.14.3.3

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Этап 1.14.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 1.14.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 1.14.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{2}$ и координаты заданной точки $(1, 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 3 = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 3$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 6}{2}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

Этап 3