Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 4 x + 4$ at $(3, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 4 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$2 x - 4$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 3$ .

$2 (3) - 4$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 - 4$

Этап 1.5.2

Вычтем $4$ из $6$ .

$2$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(3, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $2 \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = 2 x + 2 \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y - 1 = 2 x - 6$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 x - 6 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 6$ и $1$ .

$y = 2 x - 5$

Этап 3