Математический анализ Примеры

$y = \frac{1 + x}{8 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{9})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = \frac{1}{9}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + x$ и $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.5

Умножим $8 + e^{x}$ на $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.6

По правилу суммы производная $8 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.7

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$\frac{8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Объединим противоположные члены в $8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$\frac{8 + 0 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.3.2.2

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{8 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{x} x + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.6

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{x} x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.8

Перепишем $- (e^{x} x - 8)$ в виде $- 1 (e^{x} x - 8)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.10

Изменим порядок множителей в $- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Перепишем $0 \cdot e^{0}$ в виде ${(0 \cdot e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 2^{3}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 0 \cdot e^{0}$ и $b = 2$ .

$- \frac{(0 \cdot e^{0} - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{(0 \cdot 1 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.4.2

Умножим $0$ на $1$ .

$- \frac{(0 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.4.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.4.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.4.4.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$0 \cdot e^{0} \cdot 2 = 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2$

Этап 1.6.1.4.4.2

Перепишем многочлен.

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.4.4.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 0 \cdot e^{0}$ и $b = 2$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot e^{0} + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.4.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot 1 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.4.6

Умножим $0$ на $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.4.7

Добавим $0$ и $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 2^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.2.2

Перепишем $e^{0}$ в виде ${(e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + {(e^{0})}^{3})}^{2}}$

Этап 1.6.2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 2$ и $b = e^{0}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + e^{0}) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Этап 1.6.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + 1) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Этап 1.6.2.4.2

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Этап 1.6.2.4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Этап 1.6.2.4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 \cdot 1 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Этап 1.6.2.4.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Этап 1.6.2.4.6

Перемножим экспоненты в ${(e^{0})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.4.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0 \cdot 2}))}^{2}}$

Этап 1.6.2.4.6.2

Умножим $0$ на $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0}))}^{2}}$

Этап 1.6.2.4.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + 1))}^{2}}$

Этап 1.6.2.4.8

Вычтем $2$ из $4$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2 + 1))}^{2}}$

Этап 1.6.2.4.9

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 \cdot 3)}^{2}}$

Этап 1.6.2.5

Применим правило умножения к $3 \cdot 3$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{3^{2} \cdot 3^{2}}$

Этап 1.6.2.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 3^{2}}$

Этап 1.6.2.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 9}$

Этап 1.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- \frac{- 8}{9 \cdot 9}$

Этап 1.6.3.2

Умножим $9$ на $9$ .

$- \frac{- 8}{81}$

Этап 1.6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{8}{81}$

Этап 1.6.4

Умножим $- - \frac{8}{81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{8}{81})$

Этап 1.6.4.2

Умножим $\frac{8}{81}$ на $1$ .

$\frac{8}{81}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{8}{81}$ и координаты заданной точки $(0, \frac{1}{9})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{8}{81} \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{8}{81} \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot x$

Этап 2.3.1.2

Объединим $\frac{8}{81}$ и $x$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8 x}{81}$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{1}{9}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{8 x}{81} + \frac{1}{9}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{8}{81} x + \frac{1}{9}$

Этап 3