Математический анализ Примеры

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{x}}$ в виде ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Поскольку ${\displaystyle 8}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 8x^{\frac{1}{2}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 8\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle 8}$ и ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle 8}$.

Сократим общие множители.

Найдем производную в ${\displaystyle x=4}$.

Упростим.

Используем угловой коэффициент ${\displaystyle 2}$ и координаты заданной точки ${\displaystyle (4,16)}$ вместо ${\displaystyle x_1}$ и ${\displaystyle y_1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой ${\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)}$, выведенном из уравнения с угловым коэффициентом ${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$.

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

Решим относительно ${\displaystyle y}$.