Математический анализ Примеры

$x y = 15$ , $x = 5$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$(5) \cdot y = 15$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $5$ на $y$ .

$5 \cdot y = 15$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $5 \cdot y = 15$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $5 \cdot y = 15$ на $5$ .

$\frac{5 \cdot y}{5} = \frac{15}{5}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot y}{5} = \frac{15}{5}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{15}{5}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $15$ на $5$ .

$y = 3$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 5$ и $y = 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (15)$

Этап 2.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 2.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y$

Этап 2.3

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + y = 0$

Этап 2.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' = - y$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $x y' = - y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $x y' = - y$ на $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y}{x}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x}$

Этап 2.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Этап 2.7

Найдем значение $x = 5$ в $y = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$- \frac{y}{5}$

Этап 2.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $3$ .

$- \frac{3}{5}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{3}{5}$ и координаты заданной точки $(5, 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{3}{5} \cdot (x - (5))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 = - \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

Этап 3.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 5$

Этап 3.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{5}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 5$

Этап 3.3.1.2.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{5}$ в числитель.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot - 5$

Этап 3.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (- 1))$

Этап 3.3.1.2.3.3

Сократим общий множитель.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.2.3.4

Перепишем это выражение.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} - 3 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.2.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + 3$

Этап 3.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y - 3 = - \frac{3 x}{5} + 3$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{3 x}{5} + 3 + 3$

Этап 3.3.2.2

Добавим $3$ и $3$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + 6$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{3}{5} x) + 6$

Этап 3.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{5} x + 6$

Этап 4