Математический анализ Примеры

$f (x) = (x^{3} + 4) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 5)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 5$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3} + 4$ и $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 4 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 4) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Этап 1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 4) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{3} + 4) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$(x^{3} + 4) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Этап 1.2.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Этап 1.2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Этап 1.2.9

Добавим $6 x - 4$ и $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Этап 1.2.10

По правилу суммы производная $x^{3} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.2.12

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Этап 1.2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Этап 1.2.13.2

Перенесем $3$ влево от $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + 4) (6 x) + (x^{3} + 4) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (6 x) + 4 (6 x) + (x^{3} + 4) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (6 x) + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.2

Перенесем $6$ влево от $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.3

Умножим $6$ на $4$ .

$6 x^{4} + 24 x + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.4

Перенесем $- 4$ влево от $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 \cdot x^{3} + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.5

Умножим $4$ на $- 4$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.6

Умножим $3$ на $3$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.7

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.7.3

Добавим $2$ и $2$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.8

Умножим $- 4$ на $3$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.9

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.9.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Этап 1.3.6.10

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Этап 1.3.6.11

Добавим $6 x^{4}$ и $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Этап 1.3.6.12

Вычтем $12 x^{3}$ из $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 24 x - 16 x^{3} - 16 + 6 x^{2}$

Этап 1.3.7

Изменим порядок членов.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 24 x - 16$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Этап 1.5.1.2

Умножим $15$ на $1$ .

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Этап 1.5.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Этап 1.5.1.4

Умножим $- 16$ на $1$ .

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Этап 1.5.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 24 (1) - 16$

Этап 1.5.1.6

Умножим $6$ на $1$ .

$15 - 16 + 6 + 24 (1) - 16$

Этап 1.5.1.7

Умножим $24$ на $1$ .

$15 - 16 + 6 + 24 - 16$

Этап 1.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вычтем $16$ из $15$ .

$- 1 + 6 + 24 - 16$

Этап 1.5.2.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$5 + 24 - 16$

Этап 1.5.2.3

Добавим $5$ и $24$ .

$29 - 16$

Этап 1.5.2.4

Вычтем $16$ из $29$ .

$13$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $13$ и координаты заданной точки $(1, 5)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 13 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 5 = 13 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $13 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 5 = 0 + 0 + 13 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 5 = 13 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 5 = 13 x + 13 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $13$ на $- 1$ .

$y - 5 = 13 x - 13$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 13 x - 13 + 5$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 13$ и $5$ .

$y = 13 x - 8$

Этап 3