Математический анализ Примеры

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{3}, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{3}$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 1.2

Найдем производную в $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 1.3.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2 \sqrt{3}$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{3}, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Этап 2.3.1.4

Умножим $2 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Этап 2.3.1.4.2

Объединим $\frac{π}{3}$ и $- 2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

Этап 2.3.1.4.3

Объединим $\frac{π \cdot - 2}{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем $- 2$ влево от $π$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 6}{3}$

Этап 2.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 π \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 6}{3}$

Этап 2.3.3.6

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 6)}{3}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 6)}{3}$

Этап 2.3.3.8

Перепишем $- (2 π \sqrt{3} - 6)$ в виде $- 1 (2 π \sqrt{3} - 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 6)}{3}$

Этап 2.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 6}{3}$

Этап 3