Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 3}$ , $x = - 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3}$

Этап 1.2

Упростим $\sqrt{{(- 2)}^{2} + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \sqrt{4 + 3}$

Этап 1.2.2

Добавим $4$ и $3$ .

$y = \sqrt{7}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 2$ и $y = \sqrt{7}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 3}$ в виде ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.7.3

Перенесем ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 2.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 2.11.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 2.11.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.11.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.11.5

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.12

Найдем производную в $x = - 2$ .

$\frac{- 2}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{- 2}{{(4 + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13.1.2

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{- 2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ и координаты заданной точки $(- 2, \sqrt{7})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{7}) = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (- 2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \sqrt{7} = 0 + 0 - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Этап 3.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.1.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.1.5.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{2 \cdot x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.1.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.2

Добавим $\sqrt{7}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{7}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы записать $\sqrt{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{7} \cdot \frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.2

Объединим $\sqrt{7}$ и $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + \sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1

Умножим $\sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1 + 1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{2}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.4.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{2}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{1}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.4.2

Найдем экспоненту.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.4.3

Добавим $- 4$ и $7$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.5

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x) + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.3.6

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4