Математический анализ Примеры

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.2.2

Упростим $4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 4 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.2.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 (\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.4.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \sqrt{2} \sqrt{2}$

Этап 1.2.2.5

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

Этап 1.2.2.6

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

Этап 1.2.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Этап 1.2.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 1.2.2.9

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 1.2.2.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 1.2.2.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.2.2.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.9.4.1

Сократим общий множитель.

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.2.2.9.4.2

Перепишем это выражение.

$y = 2^{1}$

Этап 1.2.2.9.5

Найдем экспоненту.

$y = 2$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{4}$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (x) \cos (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Этап 2.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 2.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Этап 2.13.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Этап 2.13.3

Перепишем $4 \cos^{2} (x)$ в виде ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Этап 2.13.4

Перепишем $4 \sin^{2} (x)$ в виде ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Этап 2.13.5

Изменим порядок $- {(2 \sin (x))}^{2}$ и ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Этап 2.13.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 \cos (x)$ и $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Этап 2.13.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Этап 2.13.8

Развернем $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Этап 2.13.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Этап 2.13.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 2.13.9

Объединим противоположные члены в $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.9.1

Изменим порядок множителей в членах $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ и $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 2.13.9.2

Добавим $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ и $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 2.13.9.3

Добавим $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ и $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 2.13.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.10.1

Умножим $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.10.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 2.13.10.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 2.13.10.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 2.13.10.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 2.13.10.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 2.13.10.2

Умножим $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.10.2.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Этап 2.13.10.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Этап 2.13.10.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Этап 2.13.10.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 2.13.10.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Этап 2.14

Найдем производную в $x = \frac{π}{4}$ .

$4 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$4 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.3.5

Найдем экспоненту.

$4 \frac{2}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.5.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.5.2

Перепишем это выражение.

$2 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 2.15.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 - 4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 2.15.1.7

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 - 4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 2.15.1.8

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - 4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Этап 2.15.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Этап 2.15.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 2.15.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 2.15.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$2 - 4 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Этап 2.15.1.8.5

Найдем экспоненту.

$2 - 4 \frac{2}{2^{2}}$

Этап 2.15.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 - 4 (\frac{2}{4})$

Этап 2.15.1.10

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$2 + 4 (- 1) \frac{2}{4}$

Этап 2.15.1.10.2

Сократим общий множитель.

$2 + 4 \cdot - 1 \frac{2}{4}$

Этап 2.15.1.10.3

Перепишем это выражение.

$2 - 1 \cdot 2$

Этап 2.15.1.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 2$

Этап 2.15.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $0$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{4}, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 2 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 4