Математический анализ Примеры

$f (x) = {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 4$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = {(4 (4) - 7)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = {(4 (4) - 7)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2

Упростим ${(4 (4) - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$y = {(16 - 7)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2.1.2

Вычтем $7$ из $16$ .

$y = 9^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 3^{1}$

Этап 1.2.2.3

Найдем экспоненту.

$y = 3$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 7$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(4 x - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(4 x - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.6.3

Перенесем ${(4 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $4 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.10

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.11

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Этап 2.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Этап 2.12.2

Объединим $\frac{1}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ и $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.12.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{{(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.14

Найдем производную в $x = 4$ .

$\frac{2}{{(4 (4) - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{2}{{(16 - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.2

Вычтем $7$ из $16$ .

$\frac{2}{9^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.15.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.15.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3^{1}}$

Этап 2.15.6

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{3}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{2}{3}$ и координаты заданной точки $(4, 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{2}{3} \cdot (x - (4))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 = \frac{2}{3} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 3 = \frac{2}{3} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y - 3 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.5

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 4$ .

$y - 3 = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 4}{3}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y - 3 = \frac{2 x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Этап 3.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 3 = \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3} + 3$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.2.3

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 8 + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 8 + 9}{3}$

Этап 3.3.2.5.2

Добавим $- 8$ и $9$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$

Этап 4