Математический анализ Примеры

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{π}{3}$ вместо $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Этап 1.2.2

Упростим $2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

Этап 1.2.2.2

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.2.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$y = \sin (\frac{π}{3})$

Этап 1.2.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{3}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x) \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Этап 2.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 2.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Этап 2.13.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Этап 2.14

Найдем производную в $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.3.5

Найдем экспоненту.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.5.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.5.4

Перепишем это выражение.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.6

Перепишем $- 1 (\frac{3}{2})$ в виде $- (\frac{3}{2})$ .

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.15.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.15.1.8

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 2.15.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

Этап 2.15.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

Этап 2.15.1.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.11.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

Этап 2.15.1.11.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.15.1.11.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

Этап 2.15.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.2.1

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Этап 2.15.2.2.2

Разделим $- 2$ на $2$ .

$- 1$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 1 (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $\frac{π}{3}$ на $1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

Этап 3.3.2

Добавим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3.3.3.2

Чтобы записать $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.3.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.3.3.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.3.3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Этап 3.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Этап 3.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Этап 3.3.3.5.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

Этап 4