Математический анализ Примеры

$f (x) = {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = {(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = {(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2

Упростим ${(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $10$ на $2$ .

$y = {(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2.1.2

Вычтем $4$ из $20$ .

$y = 16^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 4^{1}$

Этап 1.2.2.3

Найдем экспоненту.

$y = 4$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 10 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $10 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $10 x - 4$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.6.3

Перенесем ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $10 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 2.8

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 2.10

Умножим $10$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 2.11

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Этап 2.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $10$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Этап 2.12.2

Объединим $\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.12.3

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{{(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.14

Найдем производную в $x = 2$ .

$\frac{5}{{(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{5}{{(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.2

Вычтем $4$ из $20$ .

$\frac{5}{16^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{5}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.15.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.15.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{4^{1}}$

Этап 2.15.6

Найдем экспоненту.

$\frac{5}{4}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{5}{4}$ и координаты заданной точки $(2, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{5}{4} \cdot (x - (2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{5}{4} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = \frac{5}{4} x + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{5}{4}$ и $x$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 (2)} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.6

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Этап 3.3.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5}{2}$

Этап 3.3.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 4$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.3.2.3

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 8}{2}$

Этап 3.3.2.5.2

Добавим $- 5$ и $8$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{3}{2}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{5}{4} x + \frac{3}{2}$

Этап 4