Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , $(1, 0)$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 1$ и $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.9

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.5

Развернем $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.6.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.6.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.6.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.6.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.6.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.6.5

Умножим $2 x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.6.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.2.2

Добавим $2 x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.3

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.4

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Этап 2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 + 4 (1) + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Этап 2.5.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1 + 4 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Этап 2.5.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{5 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Этап 2.5.2.4

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{6}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Этап 2.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{6}{{(1 + 1 + 1)}^{2}}$

Этап 2.5.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6}{{(2 + 1)}^{2}}$

Этап 2.5.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{6}{3^{2}}$

Этап 2.5.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{6}{9}$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Этап 2.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 2.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 2.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{2}{3}$ и координаты заданной точки $(1, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.2

Упростим $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Этап 3.3.2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Этап 3.3.2.3

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 3.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$

Этап 4