Математический анализ Примеры

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{2}$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{π}{2}$ вместо $x$ .

$y = 8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.2.2

Упростим $8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$y = 8 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.2.2.2

Умножим $8$ на $1$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.2.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$y = 8 \cdot 0$

Этап 1.2.2.4

Умножим $8$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{2}$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sin (x) \cos (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Этап 2.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 2.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Этап 2.13.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Этап 2.14

Найдем производную в $x = \frac{π}{2}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 8 \cdot 1^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 2.15.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 8 \cdot 1 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 2.15.1.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 8 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 2.15.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 8 + 8 \cdot 0^{2}$

Этап 2.15.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 8 + 8 \cdot 0$

Этап 2.15.1.6

Умножим $8$ на $0$ .

$- 8 + 0$

Этап 2.15.2

Добавим $- 8$ и $0$ .

$- 8$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 8$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{2}, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 8 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = - 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = - 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Этап 3.3.2

Упростим $- 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 8 x - 8 (- \frac{π}{2})$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$y = - 8 x - 8 \frac{- π}{2}$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$y = - 8 x + 2 (- 4) \frac{- π}{2}$

Этап 3.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y = - 8 x + 2 \cdot - 4 \frac{- π}{2}$

Этап 3.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y = - 8 x - 4 (- π)$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = - 8 x + 4 π$

Этап 4