Математический анализ Примеры

$x^{2} - x y - y^{2} = 1$ , $(5, 3)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 5$ и $y = 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x y - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y y')$

Этап 1.2.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x - (x y' + y) - 2 y y'$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - (x y') - y - 2 y y'$

Этап 1.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x - x y' - y - 2 y y'$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок членов.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y$

Этап 1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- x y' - 2 y y' - y = - 2 x$

Этап 1.5.1.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- x y' - 2 y y' = - 2 x + y$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' - 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' (- x) - 2 y y' = - 2 x + y$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (- 2 y) = - 2 x + y$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ на $- x - 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ на $- x - 2 y$ .

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.5

Перепишем $- (2 x - y)$ в виде $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 2 y}$

Этап 1.5.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (2 y)}$

Этап 1.5.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 2 y)}$

Этап 1.5.3.3.9

Перепишем $- (x + 2 y)$ в виде $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Этап 1.5.3.3.10

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Этап 1.5.3.3.11

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 5$ в $y = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$\frac{2 (5) - y}{(5) + 2 y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $3$ .

$\frac{2 (5) - (3)}{(5) + 2 (3)}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 - (3)}{5 + 2 (3)}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{10 - 3}{5 + 2 (3)}$

Этап 1.7.3.3

Вычтем $3$ из $10$ .

$\frac{7}{5 + 2 (3)}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{7}{5 + 6}$

Этап 1.7.4.2

Добавим $5$ и $6$ .

$\frac{7}{11}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{7}{11}$ и координаты заданной точки $(5, 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{7}{11} \cdot (x - (5))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 = \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{7}{11} \cdot (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 3 = \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 = \frac{7}{11} x + \frac{7}{11} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{7}{11}$ и $x$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{7}{11} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{7}{11} \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Объединим $\frac{7}{11}$ и $- 5$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{7 \cdot - 5}{11}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $7$ на $- 5$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35}{11}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 3 = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + 3$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + 3 \cdot \frac{11}{11}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $3$ и $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + \frac{3 \cdot 11}{11}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35 + 3 \cdot 11}{11}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $3$ на $11$ .

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35 + 33}{11}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 35$ и $33$ .

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 2}{11}$

Этап 2.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{2}{11}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{7}{11} x - \frac{2}{11}$

Этап 3