Математический анализ Примеры

$f (x) = {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(6 (1) - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = {(6 (1) - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2

Упростим ${(6 (1) - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $6$ на $1$ .

$y = {(6 - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $5$ из $6$ .

$y = 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 6 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x - 5$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(6 x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(6 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(6 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.6.3

Перенесем ${(6 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $6 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 2.8

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 2.10

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 2.11

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

Этап 2.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

Этап 2.12.2

Объединим $\frac{1}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $6$ .

$\frac{6}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.12.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{{(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.14

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{3}{{(6 (1) - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.1

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{3}{{(6 - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.1.2

Вычтем $5$ из $6$ .

$\frac{3}{1^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{1}$

Этап 2.15.2

Разделим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $3$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $3 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y - 1 = 3 x - 3$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 3 x - 3 + 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$y = 3 x - 2$

Этап 4