Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(9, 3)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 9$ и $y = 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.9

Найдем производную в $x = 9$ .

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.10.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.10.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.10.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Этап 1.10.1.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Этап 1.10.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{6}$ и координаты заданной точки $(9, 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Этап 2.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 3$ и $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Этап 3