Математический анализ Примеры

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ , $(1, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Этап 1.3.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Этап 1.5

Разделим каждый член $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим каждый член $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Этап 1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Этап 1.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Этап 1.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Этап 1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Этап 1.5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Этап 1.5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Этап 1.5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 1$ в $y = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 y} + \frac{3 (1)}{y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $2$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3 (1)}{2}$

Этап 1.7.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

Этап 1.7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 \cdot 1}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

Этап 1.7.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{3}{2}$

Этап 1.7.4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2}$

Этап 1.7.5

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.7.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 1.7.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

Этап 1.7.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{4}$

Этап 1.7.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 + 6}{4}$

Этап 1.7.8.2

Добавим $3$ и $6$ .

$\frac{9}{4}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{9}{4}$ и координаты заданной точки $(1, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{9}{4} \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{9}{4} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = \frac{9}{4} x + \frac{9}{4} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{9}{4}$ и $x$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{9}{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Объединим $\frac{9}{4}$ и $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 2 = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 8}{4}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 9$ и $8$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Этап 2.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{9}{4} x - \frac{1}{4}$

Этап 3