Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ at $x = - 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Этап 1.2

Упростим $\frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$y = \frac{- 1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Этап 1.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{- 1}$

Этап 1.2.1.4

Разделим $7$ на $- 1$ .

$y = - \frac{1}{7} - - 7$

Этап 1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7 \cdot \frac{7}{7}$

Этап 1.2.3

Объединим $7$ и $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + \frac{7 \cdot 7}{7}$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 1 + 7 \cdot 7}{7}$

Этап 1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $7$ на $7$ .

$y = \frac{- 1 + 49}{7}$

Этап 1.2.5.2

Добавим $- 1$ и $49$ .

$y = \frac{48}{7}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 1$ и $y = \frac{48}{7}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{7}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{7}}{7}$ по $x$ равна $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Этап 2.2.3

Объединим $7$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{7}{7} x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{7}{7}$ и $x^{6}$ .

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Этап 2.2.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Этап 2.2.5.2

Разделим $x^{6}$ на $1$ .

$x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{7}{x^{7}}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{7}}$ в виде ${(x^{7})}^{- 1}$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x^{6} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} (7 x^{6}))$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{7})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 7 (- x^{7 \cdot - 2} (7 x^{6}))$

Этап 2.3.5.2

Умножим $7$ на $- 2$ .

$x^{6} - 7 (- x^{- 14} (7 x^{6}))$

Этап 2.3.6

Умножим $7$ на $- 1$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 14} x^{6})$

Этап 2.3.7

Умножим $x^{- 14}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перенесем $x^{6}$ .

$x^{6} - 7 (- 7 (x^{6} x^{- 14}))$

Этап 2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} - 7 (- 7 x^{6 - 14})$

Этап 2.3.7.3

Вычтем $14$ из $6$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 8})$

Этап 2.3.8

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$x^{6} + 49 x^{- 8}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{6} + 49 \frac{1}{x^{8}}$

Этап 2.4.2

Объединим $49$ и $\frac{1}{x^{8}}$ .

$x^{6} + \frac{49}{x^{8}}$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = - 1$ .

${(- 1)}^{6} + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$1 + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Этап 2.6.1.2

Возведем $- 1$ в степень $8$ .

$1 + \frac{49}{1}$

Этап 2.6.1.3

Разделим $49$ на $1$ .

$1 + 49$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ и $49$ .

$50$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $50$ и координаты заданной точки $(- 1, \frac{48}{7})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{48}{7}) = 50 \cdot (x - (- 1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $50 \cdot (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{48}{7} = 0 + 0 + 50 \cdot (x + 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50 \cdot 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $50$ на $1$ .

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{48}{7}$ к обеим частям уравнения.

$y = 50 x + 50 + \frac{48}{7}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $50$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + 50 \cdot \frac{7}{7} + \frac{48}{7}$

Этап 3.3.2.3

Объединим $50$ и $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7}{7} + \frac{48}{7}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7 + 48}{7}$

Этап 3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Умножим $50$ на $7$ .

$y = 50 x + \frac{350 + 48}{7}$

Этап 3.3.2.5.2

Добавим $350$ и $48$ .

$y = 50 x + \frac{398}{7}$

Этап 4