Математический анализ Примеры

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

Этап 1.2.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.3.2.3

Перепишем многочлен.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 1.3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Умножим $2 x - 2$ на $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Сократим общий множитель $x - 1$ и ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $2 (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Вынесем множитель $x - 1$ из ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x - 1}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 2$ .

$\frac{2}{(2) - 1}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{2}{1}$

Этап 1.5.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(2, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.2

Упростим $2 \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = 2 x - 4$

Этап 3