Математический анализ Примеры

$y = \ln (x^{2} - 3 x + 1)$ , $(3, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 3 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3 + 0)$

Этап 1.2.7

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{1}{x^{2} - 3 x + 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $2 x - 3$ на $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 1}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 3$ .

$\frac{2 (3) - 3}{{(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 - 3}{3^{2} - 3 \cdot 3 + 1}$

Этап 1.5.1.2

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{3}{3^{2} - 3 \cdot 3 + 1}$

Этап 1.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3}{9 - 3 \cdot 3 + 1}$

Этап 1.5.2.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{3}{9 - 9 + 1}$

Этап 1.5.2.3

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{3}{0 + 1}$

Этап 1.5.2.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{3}{1}$

Этап 1.5.3

Разделим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $3$ и координаты заданной точки $(3, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 3 \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 3 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 3 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.2

Упростим $3 \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 3 x + 3 \cdot - 3$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$y = 3 x - 9$

Этап 3