Математический анализ Примеры

$f (x) = {(\frac{x + 3}{x - 1})}^{2}$ ; $(5, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 5$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 3}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Этап 1.2

Объединим $2$ и $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 3$ и $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.4.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.5

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4.8.3

Умножим $\frac{2 (x + 3)}{x - 1}$ на $\frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.5

Умножим $x - 1$ на ${(x - 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $x - 1$ на ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $x - 1 - x - 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{(2 x + 6) (0 - 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.3.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.3.4

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$\frac{(2 x + 6) \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.3.6

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{- 8 x + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.3.7

Умножим $6$ на $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.4

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.4.2

Вынесем множитель $8$ из $- 24$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (- 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.4.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- x) + 8 (- 3)$ .

$\frac{8 (- x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{8 (- (x) - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.6

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.8

Перепишем $- (x + 3)$ в виде $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.6.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 (x + 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.7

Найдем производную в $x = 5$ .

$- \frac{8 ((5) + 3)}{{((5) - 1)}^{3}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $5$ и $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(5 - 1)}^{3}}$

Этап 1.8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

Этап 1.8.2.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

Этап 1.8.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Умножим $8$ на $8$ .

$- \frac{64}{64}$

Этап 1.8.3.2

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{64}{64}$

Этап 1.8.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.8.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(5, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (5))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

Этап 2.3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 5$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$y - 4 = - x + 5$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = - x + 5 + 4$

Этап 2.3.2.2

Добавим $5$ и $4$ .

$y = - x + 9$

Этап 3