Математический анализ Примеры

$\int (x + 3) {(x - 1)}^{5} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (u + 1 + 3) u^{5} d u$

Этап 2

Добавим $1$ и $3$ .

$\int (u + 4) u^{5} d u$

Этап 3

Умножим $(u + 4) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} + 4 u^{5} d u$

Этап 4

Умножим $u$ на $u^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $u$ на $u^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{5} + 4 u^{5} d u$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + 5} + 4 u^{5} d u$

Этап 4.2

Добавим $1$ и $5$ .

$\int u^{6} + 4 u^{5} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{6} d u + \int 4 u^{5} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{6}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int 4 u^{5} d u$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 \int u^{5} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{1}{7} u^{7} + 4 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{4}{6} u^{6} + C$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 (2)}{6} u^{6} + C$

Этап 9.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

Этап 9.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

Этап 9.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2}{3} u^{6} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$\frac{1}{7} {(x - 1)}^{7} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{6} + C$