Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ , следовательно $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (\sqrt{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

Этап 1.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.1.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.1.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 1.1.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 1.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 1.1.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.1.11

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 1.1.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.12.1

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.12.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.1.13.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.13.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Этап 1.1.13.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.13.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Этап 1.1.13.2

Упростим $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Этап 4.2

Перепишем $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ в виде $1 {u_{2}}^{2} + C$ .

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Этап 4.3

Умножим ${u_{2}}^{2}$ на $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (\sqrt{x})$ .

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$