Математический анализ Примеры

$\int_{3}^{4} x \sqrt{x - 3} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Этап 1.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Этап 1.5

Вычтем $3$ из $4$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} (u + 3) \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 3) u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Развернем $(u + 3) u^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.6

Добавим $2$ и $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.7

Изменим порядок $u^{\frac{3}{2}}$ и $3 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$3 ((\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 8.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.2.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.3.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.4.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.5

Добавим $\frac{2}{3}$ и $0$ .

$3 (\frac{2}{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.6.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.6.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.7.2

Умножим $\frac{2}{5}$ на $1$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 8.8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.3.1

Сократим общий множитель.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 8.8.3.2

Перепишем это выражение.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5}$

Этап 8.8.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0$

Этап 8.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5})$

Этап 8.9.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0$

Этап 8.10

Добавим $\frac{2}{5}$ и $0$ .

$2 + \frac{2}{5}$

Этап 8.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$

Этап 8.11.2

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5}$

Этап 8.11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}$

Этап 8.11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.4.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 + 2}{5}$

Этап 8.11.4.2

Добавим $10$ и $2$ .

$\frac{12}{5}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{12}{5}$

Десятичная форма:

$2.4$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{2}{5}$