Математический анализ Примеры

$\int 10 x {(5 x^{2} - 2)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = 5 x^{2} - 2$ . Тогда $d u = 10 x d x$ , следовательно $\frac{1}{10 x} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 5 x^{2} - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $5 x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $10 x$ и $0$ .

$10 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{3} {(5 x^{2} - 2)}^{3} + C$