Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} \frac{x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} - 3$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 3$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Этап 1.3.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 3$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 9 - 3$

Этап 1.5.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$u_{upper} = 6$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 6$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{- 2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{6}$

Этап 6

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $6$ и в $1$ .

$\frac{1}{2} ((- 6^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1^{- 1})$

Этап 8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Этап 9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 6}{6}$

Этап 9.3

Добавим $- 1$ и $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{5}{12}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{12}$

Десятичная форма:

$0.41\overline{6}$