Математический анализ Примеры

$\int \ln^{2} (x) d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln^{2} (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x - \int x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $x$ и $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Этап 3.2.2

Разделим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$\ln^{2} (x) x - \int \ln (x^{2}) d x$

Этап 4

Перепишем $\ln (x^{2})$ в виде $2 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) x - \int 2 \ln (x) d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln^{2} (x) x - (2 \int \ln (x) d x)$

Этап 6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 \int \ln (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int d x)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C))$

Этап 10

Перепишем $\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C))$ в виде $\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$