Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 3

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{2} + 3 x + 7) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5

Развернем $(x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.5

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.7.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{1 - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.10

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.12

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.13

Изменим порядок $x^{\frac{3}{2}}$ и $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.14

Перенесем $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 5.15

Изменим порядок $3 x^{\frac{1}{2}}$ и $7 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 7

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 12.2

Упростим.

$14 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$