Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} {(3 t - 1)}^{50} d t$

Этап 1

Пусть $u = 3 t - 1$ . Тогда $d u = 3 d t$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 t - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $3 t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 3 t - 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 3 t - 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 1}^{2} u^{50} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $u^{50}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{2} \frac{u^{50}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{2} u^{50} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{50}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{51} u^{51}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{51} u^{51}]_{- 1}^{2}$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{51} u^{51}$ в $2$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{51} \cdot 2^{51}) - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Этап 5.2

Возведем $2$ в степень $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{51} \cdot 2251799813685250 - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{51}$ и $2251799813685250$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Возведем $- 1$ в степень $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} \cdot - 1)$

Этап 5.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + 1 (\frac{1}{51}))$

Этап 5.4.2.2

Умножим $\frac{1}{51}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + \frac{1}{51})$

Этап 5.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685250 + 1}{51}$

Этап 5.4.3.2

Добавим $2251799813685250$ и $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685251}{51}$

Этап 5.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2251799813685251}{51}$ .

$\frac{2251799813685251}{3 \cdot 51}$

Этап 5.4.4.2

Умножим $3$ на $51$ .

$\frac{2251799813685251}{153}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2251799813685251}{153}$

Десятичная форма:

$14717645841080.1$