Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{1} \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 1

Пусть $u = x + 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 3$ .

$u_{lower} = - 2 + 3$

Этап 1.3

Добавим $- 2$ и $3$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 3$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Этап 1.5

Добавим $1$ и $3$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{4}$

Этап 3

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $4$ и в $1$ .

$(\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\ln (\frac{4}{| 1 |})$

Этап 5.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{4}{1})$

Этап 5.3

Разделим $4$ на $1$ .

$\ln (4)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (4)$

Десятичная форма:

$1.38629436 \dots$