Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Пусть $x = 3 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \cos (t)$ положительно.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.6

Перепишем $9 \cos^{2} (t)$ в виде ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cos (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.5

Объединим $3$ и $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 3.2.6

Объединим $\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ и $\cos (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.7

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.8

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.11.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.11.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.12

Переведем $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ в $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Этап 4

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (t)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Этап 7

Поскольку производная $- \cot (t)$ равна $\csc^{2} (t)$ , интеграл $\csc^{2} (t)$ равен $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Этап 8

Упростим.

$- t - \cot (t) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$