Математический анализ Примеры

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{2 + e^{x}}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 + e^{x}$ . Тогда $d u = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 + e^{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + e^{x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $2 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$e^{x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $2 + e^{x}$ .

$2 {(2 + e^{x})}^{\frac{1}{2}} + C$