Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{7} x \sqrt{x + 2} d x$

Этап 1

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Этап 1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 7 + 2$

Этап 1.5

Добавим $7$ и $2$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{4}^{9} (u - 2) \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (u - 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Развернем $(u - 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{4}^{9} u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{4}^{9} u^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.6

Добавим $2$ и $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ в $9$ и в $4$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Этап 8.2

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $4$ .

$\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.3.4

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $243$ .

$\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.4.2

Умножим $2$ на $243$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.5.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 32 - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Умножим $32$ на $- 1$ .

$\frac{486}{5} - 32 (\frac{2}{5}) - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.6.2

Объединим $- 32$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 32 \cdot 2}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.6.3

Умножим $- 32$ на $2$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{486}{5} - \frac{64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{486 - 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.7.2

Вычтем $64$ из $486$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.8.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.8.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.9.2

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.9.3

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.3.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.9.3.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 8.10.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 8.10.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 8.10.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Этап 8.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - 8 (\frac{2}{3}))$

Этап 8.11.2

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Этап 8.11.3

Умножим $- 8$ на $2$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 16}{3})$

Этап 8.11.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{16}{3})$

Этап 8.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.1

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 8.12.2

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 8.12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{422}{5} - 2 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Этап 8.12.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.4.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 \frac{54 - 16}{3}$

Этап 8.12.4.2

Вычтем $16$ из $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{38}{3})$

Этап 8.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.13.1

Объединим $- 2$ и $\frac{38}{3}$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 2 \cdot 38}{3}$

Этап 8.13.2

Умножим $- 2$ на $38$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 76}{3}$

Этап 8.13.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{422}{5} - \frac{76}{3}$

Этап 8.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.14.1

Чтобы записать $\frac{422}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3}$

Этап 8.14.2

Чтобы записать $- \frac{76}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.14.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.14.3.1

Умножим $\frac{422}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.14.3.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.14.3.3

Умножим $\frac{76}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Этап 8.14.3.4

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{15}$

Этап 8.14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{422 \cdot 3 - 76 \cdot 5}{15}$

Этап 8.14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.14.5.1

Умножим $422$ на $3$ .

$\frac{1266 - 76 \cdot 5}{15}$

Этап 8.14.5.2

Умножим $- 76$ на $5$ .

$\frac{1266 - 380}{15}$

Этап 8.14.5.3

Вычтем $380$ из $1266$ .

$\frac{886}{15}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{886}{15}$

Десятичная форма:

$59.0\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$59 \frac{1}{15}$