Математический анализ Примеры

$\int [x^{2} + \frac{1}{{(3 x)}^{2}}] d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Избавимся от скобок.

$\int x^{2} + \frac{1}{{(3 x)}^{2}} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\int x^{2} + \frac{1}{{(3 (x))}^{2}} d x$

Этап 3.2

Применим правило умножения к $3 (x)$ .

$\int x^{2} + \frac{1}{3^{2} x^{2}} d x$

Этап 3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int x^{2} + \frac{1}{9 x^{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{9 x^{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{9 x^{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} \int x^{- 2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{9} (- x^{- 1} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{9} (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{x^{- 1}}{9} + C$

Этап 9.2.2

Перенесем $x^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{9 x} + C$