Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Пусть $x = \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t)}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) (\tan (t))) d t$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \tan (t) \tan (t) d t$

Этап 4

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) d t$

Этап 5

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) d t$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Этап 8

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 11

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Этап 12

Упростим.

$- t + \tan (t) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (x)$ .

$- arcsec (x) + \tan (arcsec (x)) + C$