Математический анализ Примеры

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} d x$

Этап 1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.3

Перепишем многочлен.

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} d x$

Этап 1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\int \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{16}{u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $16$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$16 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$16 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$16 \int u^{- 2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$16 (- u^{- 1} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $16 (- u^{- 1} + C)$ в виде $16 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$16 (- \frac{1}{u}) + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 1$ на $16$ .

$- 16 \frac{1}{u} + C$

Этап 6.2.2

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 16}{u} + C$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{u} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- \frac{16}{x + 1} + C$