Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

Этап 1

Пусть $u = 4 + r^{2}$ . Тогда $d u = 2 r d r$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 + r^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $4 + r^{2}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $4$ является константой относительно $r$ , производная $4$ относительно $r$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $2 r$ .

$2 r$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $r$ в $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $4$ и $1$ .

$u_{lower} = 5$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $r$ в $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 4 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{5}{u^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{5}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{5}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

Этап 6

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $5$ и в $5$ .

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

Этап 7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

Этап 8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Этап 9

Добавим $- \frac{1}{5}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0$

Этап 10

Умножим $\frac{5}{2}$ на $0$ .

$0$