Математический анализ Примеры

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Этап 1.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2$ из степени.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Этап 1.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Этап 1.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Этап 3

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $2$ и в $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Этап 5.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Этап 5.3

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (2)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (2)$

Десятичная форма:

$0.69314718 \dots$