Математический анализ Примеры

$\int x \sqrt{2 - x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 - x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 1.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - (- u + 2) \sqrt{u} d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int (- u + 2) \sqrt{u} d u$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

Развернем $(- u + 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4.2

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4.3

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4.7

Добавим $2$ и $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4.8

Изменим порядок $- u^{\frac{3}{2}}$ и $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int 2 u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int 2 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (2 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Этап 10

Упростим.

$- (\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x$ .

$- (\frac{4}{3} {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и ${(2 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 13.1.2

Объединим ${(2 - x)}^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{2}{5}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Этап 13.1.3

Перенесем $2$ влево от ${(2 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 13.2

Чтобы записать $\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 13.3

Чтобы записать $- \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Этап 13.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Этап 13.4.2

Умножим $3$ на $5$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Этап 13.4.3

Умножим $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Этап 13.4.4

Умножим $5$ на $3$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Этап 13.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Этап 13.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Умножим $5$ на $4$ .

$- \frac{20 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Этап 13.6.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- \frac{20 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{15} (20 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$