Математический анализ Примеры

$\int 3 x \sqrt{1 - 2 x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - 2 x^{2}$ . Тогда $d u = - 4 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - 2 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 - 4 x$

Этап 1.1.4

Вычтем $4 x$ из $0$ .

$- 4 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 3 \sqrt{u} \frac{1}{- 4} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int 3 \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Этап 2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\int - 3 \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 3$ .

$\int \frac{- 3}{4} \sqrt{u} d u$

Этап 2.4

Объединим $\frac{- 3}{4}$ и $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{- 3 \sqrt{u}}{4} d u$

Этап 2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{3 \sqrt{u}}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{3 \sqrt{u}}{4} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{3}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{3}{4} \int \sqrt{u} d u)$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- \frac{3}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $- \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2

Перепишем $- \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ в виде $\frac{- 1}{2} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{- 1}{2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$