Математический анализ Примеры

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

Этап 1

Пусть $u = z^{2}$ . Тогда $d u = 2 z d z$ , следовательно $\frac{1}{2 z} d u = d z$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = z^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $z^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 z$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{u}}^{6}$ в виде $u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Этап 2.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt{u}}^{8}$ в виде $u^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

Этап 2.2.4.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

Этап 3

Развернем $u^{3} (5 u^{4} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

Этап 3.2

Изменим порядок $u^{3}$ и $5$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

Этап 3.3

Изменим порядок $u^{3}$ и $- 2$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

Этап 3.5

Добавим $3$ и $4$ .

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{7}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Этап 9.2

Перепишем $5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ в виде $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $z^{2}$ .

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$