Математический анализ Примеры

$\int \ln (\sqrt{x}) d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \ln (x^{\frac{1}{2}}) d x$

Этап 3

Перепишем $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ в виде $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\int \frac{1}{2} \ln (x) d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \ln (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - (x + C))$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - x) + C$