Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

Этап 1

Пусть $u = 1 + \sin (θ)$ . Тогда $d u = \cos (θ) d θ$ , следовательно $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + \sin (θ)$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \sin (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $θ$ , производная $1$ относительно $θ$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 1.1.3

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$0 + \cos (θ)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $θ$ в $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $θ$ в $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Этап 4

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $2$ и в $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 5

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.4

Добавим $2$ и $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 6

Единица в любой степени равна единице.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Этап 7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Десятичная форма:

$0.82842712 \dots$