Математический анализ Примеры

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Этап 2

Объединим $7$ и $\frac{u}{4}$ .

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

Этап 5

Поскольку $\frac{7}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{7}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

Этап 7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

Этап 8.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Этап 10.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Этап 10.1.3

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Этап 10.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Этап 10.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $2$ из $14 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Этап 10.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Этап 10.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Этап 10.4

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Этап 10.5

Объединим $\frac{7}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Этап 10.6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$