Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{3} - 2}{(x^{4} - 4 x)} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 2}{x^{4} - 4 x}$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{4} - 4 x}$

Этап 1.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1)}{x^{4} - 4 x}$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1^{3})}{x^{4} - 4 x}$

Этап 1.1.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Этап 1.1.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Этап 1.1.1.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{4} - 4 x}$

Этап 1.1.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{4} - 4 x}$

Этап 1.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} - 4 x}$

Этап 1.1.1.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot - 4}$

Этап 1.1.1.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} - 4)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 3-й порядок, в числителе должно быть $3$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x^{3} - 4)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.4.2

Сократим общий множитель $x^{3} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.4.2.2

Разделим $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ на $1$ .

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(2 x - 2) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.5

Развернем $(2 x - 2) (x^{2} + x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 2 x + 0 - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.2.2

Добавим $2 x^{3} + 2 x$ и $0$ .

$2 x^{3} + 2 x - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.2.3

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$2 x^{3} + 0 - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.6.2.4

Добавим $2 x^{3}$ и $0$ .

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $A (x^{3} - 4)$ на $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A (x^{3} - 4) + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + A \cdot - 4 + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $- 4$ влево от $A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 \cdot A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.7.4

Сократим общий множитель $x^{3} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Этап 1.1.7.4.2

Разделим $(B x^{2} + C x + D) (x)$ на $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + (B x^{2} + C x + D) (x)$

Этап 1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{2} x + C x \cdot x + D x$

Этап 1.1.7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.6.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.6.1.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Этап 1.1.7.6.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Этап 1.1.7.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{1 + 2} + C x \cdot x + D x$

Этап 1.1.7.6.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x \cdot x + D x$

Этап 1.1.7.6.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.6.2.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C (x \cdot x) + D x$

Этап 1.1.7.6.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x^{2} + D x$

Этап 1.1.8

Перенесем $- 4 A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + B x^{3} + C x^{2} + D x - 4 A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = D$

Этап 1.2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 2 = - 4 A$

Этап 1.2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перепишем уравнение в виде $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 2 = - 4 A$

Этап 1.3.2.2

Перепишем уравнение в виде $- 4 A = - 2$ .

$- 4 A = - 2$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 1.3.2.3

Разделим каждый член $- 4 A = - 2$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Разделим каждый член $- 4 A = - 2$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 1.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 1.3.2.3.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 1.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 1.3.2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 1.3.2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 1.3.2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A + B$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.4

Решим относительно $B$ в $2 = \frac{1}{2} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} + B = 2$ .

$\frac{1}{2} + B = 2$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$B = 2 - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.4.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$B = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.4.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$B = \frac{4 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.4.2.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Этап 1.3.5

Решим систему уравнений.

$B = \frac{3}{2} A = \frac{1}{2} D = 0 C = 0$

Этап 1.3.6

Перечислим все решения.

$B = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}, D = 0, C = 0$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2 x^{2}} + 0 x + 0}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Добавим $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ и $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{3}{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $0 \cdot x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x + 0)}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.1.3

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2} + 0)}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.1.4

Добавим $\frac{3 x}{2}$ и $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2})}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.2

Объединим $x$ и $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{x (3 x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{1 + 1}}{2}}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3} - 4}$

Этап 1.5.5

Умножим $\frac{3 x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{x^{3} - 4}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Этап 1.5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Этап 1.5.7

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 4} d x$

Этап 6

Пусть $u = x^{3} - 4$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x^{3} - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x^{3} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 6.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Этап 7.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{3} - 4 |) + C$