Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} (x^{3} - 4 x) d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 4 x d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 4 x d x$

Этап 5

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 \int_{1}^{3} x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $3$ и в $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $81$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{81 - 1}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.6

Вычтем $1$ из $81$ .

$\frac{80}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7

Сократим общий множитель $80$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.1

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$\frac{4 \cdot 20}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 20}{4 (1)} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{20}{1} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7.2.4

Разделим $20$ на $1$ .

$20 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$20 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$20 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 7.2.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$20 - 4 \frac{9 - 1}{2}$

Этап 7.2.3.11

Вычтем $1$ из $9$ .

$20 - 4 (\frac{8}{2})$

Этап 7.2.3.12

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Этап 7.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Этап 7.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$20 - 4 (\frac{4}{1})$

Этап 7.2.3.12.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$20 - 4 \cdot 4$

Этап 7.2.3.13

Умножим $- 4$ на $4$ .

$20 - 16$

Этап 7.2.3.14

Вычтем $16$ из $20$ .

$4$

Этап 8