Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ в виде $u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u - 1}$ в виде ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.5

Упростим.

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{u - 1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

Этап 4

Разделим $u - 1$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

Этап 4.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $u$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

Этап 4.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

Этап 4.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $u + 0$ .

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

Этап 4.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

Этап 4.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Этап 11.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Этап 11.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$