Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{4} x^{2} {(x^{3} + 8)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{3} + 8$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3} + 8$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3} + 8$ .

$u_{lower} = {(- 2)}^{3} + 8$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$u_{lower} = - 8 + 8$

Этап 1.3.2

Добавим $- 8$ и $8$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3} + 8$ .

$u_{upper} = 4^{3} + 8$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 64 + 8$

Этап 1.5.2

Добавим $64$ и $8$ .

$u_{upper} = 72$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 72$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{72} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{72} \frac{u^{2}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{72} u^{2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{72}$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $72$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 72^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 5.2

Возведем $72$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 373248 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{373248}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $373248$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\frac{124416}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 5.3.2.2.4

Разделим $124416$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 5.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0 (\frac{1}{3}))$

Этап 5.5.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0)$

Этап 5.6

Добавим $124416$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 124416$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $124416$ .

$\frac{124416}{3}$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель $124416$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $124416$ .

$\frac{3 \cdot 41472}{3}$

Этап 5.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 41472}{3 (1)}$

Этап 5.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 41472}{3 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{41472}{1}$

Этап 5.7.2.2.4

Разделим $41472$ на $1$ .

$41472$