Математический анализ Примеры

$\frac{2}{3} \int \sqrt{4 - \frac{3}{5} x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 - \frac{3}{5} x$ . Тогда $d u = - \frac{3}{5} d x$ , следовательно $- \frac{5}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 - \frac{3}{5} x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 - \frac{3}{5} x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - \frac{3}{5} x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - \frac{3}{5} x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- \frac{3}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{5} x$ по $x$ равна $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - \frac{3}{5} \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{3}{5}$

Этап 1.1.4

Вычтем $\frac{3}{5}$ из $0$ .

$- \frac{3}{5}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{- 1}{- \frac{3}{5}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{1}{\frac{3}{5}} d u$

Этап 2.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3}{5}$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} (1 (\frac{5}{3})) d u$

Этап 2.3

Умножим $\frac{5}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{5}{3} d u$

Этап 2.4

Объединим $\frac{5}{3}$ и $\sqrt{u}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u)$

Этап 4

Поскольку $\frac{5}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{5}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} (- (\frac{5}{3} \int \sqrt{u} d u))$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$- \frac{10}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{10}{9} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{10}{9} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2

Перепишем $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ в виде $- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $4 - \frac{3}{5} x$ .

$- \frac{20}{27} {(4 - \frac{3}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$